<span style="font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 150%;">Here's the simplified non-M.I.T. Group theory 101:<div><a href="https://www.geeksforgeeks.org/maths/group-theory/">https://www.geeksforgeeks.org/maths/group-theory/</a></div><div><br></div><div>=====<br><br><div class="hush-quoting-section">On 10/19/2025 at 10:26 PM, "Robert J. Hansen via Gnupg-users" <gnupg-users@gnupg.org> wrote:<blockquote class="hush-quote" style="border-left:solid 1px #ccc;margin-left:10px;padding-left:10px;">(For non-US readers: in the United States university system, classes <br>have departments, names, and numbers. In any department, the 101 class <br>is almost always "Introduction to...". Hence, Computer Science 101 is <br>Introduction to Computer Science, and Cryptography 101 would be...)<br><br>I've said a lot recently about how important it is to be able to ask <br>basic questions about whether a cipher forms a mathematical group. I <br>figure people might benefit from hearing a little bit about it.<br><br>Group theory is to mathematics what Perl scripting is to system <br>administration: it doesn't get much respect but knowing it is an <br>essential, non-negotiable skill purely because of how much it glues the <br>whole system together.<br><br>Put broadly, group theory is the study of absolutely anything that has <br>these properties: well-defined inputs and outputs taken from the same <br>set, and a function that obeys the associative property and can be used <br>to do identities and inverses.<br><br>For instance, do the integers form a group under addition?<br><br> * Inputs: and outputs are from the same set? Yes, integers!<br>   * Can addition do identities? Yes, add zero!<br>  * Can addition invert itself? Yes, add a negative!<br>    * Does addition associate? Yes!<br><br>Therefore, we would say the integers form a group under addition, and <br>that means anything involving adding two integers together can be <br>studied with group theory.<br><br>Hmm.<br><br>Do Rubik's cubes form groups under rotations?<br><br>  * Inputs and outputs are from the same set? Yes, cube configs!<br>        * Can you rotate a face such that the cube doesn't change? Yes!<br>       * Can rotations invert themselves? Yes, twist it the other way!<br>       * Do cubes associate? Yes! (higher math proof omitted)<br><br>So wait, we've got a single coherent mathematical theory that describes <br>not just numbers like arithmetic, but big complicated objects like <br>Rubik's cubes.<br><br>When considering a mathematical concept, one of the very first things <br>mathematicians -- and every cryptographer is a mathematician -- ask is, <br>"does this thing form a group?" Because if so, wow, you can do the <br>mathematical equivalent of running off to look at CPAN to see all the <br>stuff people have *already proved about your problem* just by nature of <br>the fact it's a group.<br><br>The moment you say "oh, it's a group," you have something like 3,500 <br>major results in mathematics pre-proven for your problem. Answer four <br>questions, get 3,500 theorems about your problem. That is *breathtaking* <br>power.<br><br>For instance, with respect to layering ciphers: there's a theorem which <br>says "if your cipher is a group, nope, you're fooling yourself." You can <br>prove ROT is a group (go ahead: try to prove it yourself!), so we know <br>layering is ineffective.<br><br>=====<br><br>Another good reason to study group theory: it is the foundation of RSA, <br>Diffie-Hellman, DSA, and Elgamal, including elliptical curve variants. <br>All of those algorithms are based on the "hidden subgroup problem", <br>which, as you might guess from the name, is a part of group theory best <br>described with tools from group theory.<br><br>=====<br><br>If you're interested, MIT makes their entire abstract algebra curriculum <br>("abstract algebra" being the branch of math that contains group theory) <br>available via their Open CourseWare site:<br><br><a href="https://ocw.mit.edu/courses/18-703-modern-algebra-spring-2013/pages/lecture-notes/">https://ocw.mit.edu/courses/18-703-modern-algebra-spring-2013/pages/lecture-notes/</a><br><br>It will be hard. It will challenge you. But if you can understand the <br>basics of group theory, you will have in your mathematical repertoire <br>the equivalent of Perl and a copy of the Camel book. It is powerful, it <br>is useful, and it's there for the taking.</blockquote></div></div></span>